Родился в 1983 г. в семье крестьянина. В 1912 г. окончил Могилевскую фельдшерскую школу и 6 лет работал в земской больнице и Бобруйском военном госпитале, в 1921 г. окончил медицинский факультет Московского университета, с 1921 по 1935 г. работал ординатором, ассистентом, а затем доцентом кафедры кожно-венерических болезней Минского медицинского института, а с 1935 по 1941 г. — заведующим кафедрой кожно-венерических болезней Витебского медицинского института. В годы Великой Отечественной войны Иван Илларионович был главным врачом кожно-венерологического диспансера в Челябинске, а с 1944 по 1946 г. вновь работал в Минском медицинском институте. В 1946 г. И. И. Богданович стал заведующим кафедрой кожных и венерических болезней и проректором по научной и учебной работе Витебского медицинского института, а с 1951 г. возглавил институт. Опытный и энергичный руководитель, он принимал активное участие в восстановлении разрушенного фашистами института, в подготовке врачей. При его содействии в 1959 г. был открыт факультет по подготовке провизоров. Вдумчивый и внимательный педагог, много сил и знаний он отдавал улучшению идейно-воспитательной работы и совершенствованию учебного процесса. Им написано свыше 40 научных работ, посвященных профилактике и лечению кожных болезней. Иван Илларионович в течение 20 лет был председателем Витебского научного общества дерматовенерологов.
Ему присвоено звание "Заслуженный врач БССР", он награжден орденами Ленина, Трудового Красного Знамени, Красной Звезды и 4 медалями.