В 1939 г. Анна Михайловна закончила Крымский медицинский институт и была направлена на работу в Кабардино-Балкарию. В течение 25 лет она совмещала практическую работу с преподаванием в Нальчикском медицинском училище, в 1969 г. стала заведующей курсом кожно-венерических болезней Кабардино-Балкарского университета. A. M. Чистякова под руководством проф. Л. С. Резниковой разработала и внедрила в практику высокочувствительную и специфичную пробу на сифилис. Свою многолетнюю работу она обобщила в кандидатской диссертации "Ускоренный комплекс серологических реакций на сифилис при массовом обследовании доноров".
Ее докторская диссертация была посвящена влиянию пенициллинвисмутовой терапии в сочетании с неспецифическими средствами (продигиозаном и коамидом) на показатели иммунологической реактивности у больных заразными формами сифилиса. Она автор 45 научных работ главным образом по проблемам диагностики и лечения сифилиса.
Анна Михайловна удостоена звания "Заслуженный врач РСФСР", награждена медалями "Ветеран труда" и "За доблестный труд".