Родился в 1920. В 1941 г. окончил Военно-морскую медицинскую академию. За годы Великой Отечественной войны он прошел путь от врача до командира медико-санитарного батальона. В 1945—1946 гг. Е. А. Досычев специализировался на кафедре дерматовенерологии Военно-морской медицинской академии и затем служил старшим дерматовенерологом Дунайской военно-морской флотилии. С 1952 г. он работал на кафедре дерматовенерологии Военно-морской медицинской академии.
В 1958 г. Е. А. Досычев защитил кандидатскую диссертацию, темой которой были безусловные сосудистые рефлексы у больных ранними стадиями сифилиса, и в течение 10 лет работал старшим научным сотрудником дерматологической группы Отдела клинической медицины АМН СССР под руководством члена-корр. АМН СССР П. В. Кожевникова. В 1969 г. Е. А. Досычев защитил докторскую диссертацию на тему "Влияние экзематозного процесса на чувствительность кожи и двигательные функции конечностей".
В последующем Е. А. Досычев заведовал Отделом патофизиологии Центрального кожно-венерологического института Министерства здравоохранения СССР, а затем был избран заведующим кафедрой дерматовенерологии Куйбышевского медицинского института.
С 1972 г. по настоящее время проф. Е. А. Досычев заведует кафедрой дерматовенерологии 1 Ленинградского медицинского института им. И. П. Павлова. Е. А. Досычевым опубликовано 135 научных работ по различным проблемам диагностики и терапии дерматозов и венерических заболеваний, а также по вопросам исследования физиологических функций кожи в норме и при патологии. Проф. Е. А. Досычев — автор 5 рационализаторских предложений, имеет 1 авторское свидетельство. Им разработаны, описаны и внедрены в производство специальные приборы, методы исследования для изучения особенностей физиологических функций кожи v здоровых и больных дерматозами.
Е. А. Досычев разработал и ввел в клиническую практику приборы для кожной контактной калориметрии, контактной кожной термо- и алгезиометрии, бароалгезиометрии, фотопигментометрии, метод бидигиторной сосудистой реакции при дозированном холодовом стимуле. Комплексная дерматологическая установка системы Досычева используется в исследовательских учреждениях страны. Для функционально-физиологического изучения кожи он разработал и впервые применил эстезиометрические тесты и описал регионарные особенности тепловоспринимающей, термоболевой, бароболевой и тактильной чувствительности у здоровых лиц, а также доказал угнетение этих видов чувствительности в очагах экземы. Е. А. Досычев создал электронный фотопигментометр для кожи и первым использовал в дерматологии инфракрасную фотоплетизмографию.
Под руководством Е. А. Досычева защищено 10 кандидатских и 4 докторские диссертации. Профессор Е. А. Досычев был членом правлений Всесоюзного, Всероссийского, Ленинградского им. В. М. Тарновского научных обществ дерматовенерологов, почетным членом двух областных и республиканского научных обществ. Его работа отмечена благодарностями ректоратом 1 Ленинградского медицинского института и Министерства здравоохранения СССР. За заслуги в годы ВОВ и последующую работу награжден 2 орденами Красной Звезды и 10 медалями.