Л. М. Хасабов по окончании Кубановского медицинского института прошел путь на фронтах Великой Отечественной войны от Малой земли до Чехословакии. После демобилизации он окончил клиническую ординатуру при кафедре кожных и венерических болезней Кубанского медицинского института, а с 1952 г. работал в Ростовском медицинском институте и вся его дальнейшая жизнь и деятельность были неразрывно связаны с кафедрой кожных болезней, на которой он прошел путь от ассистента до профессора.
Профессор Л. М. Хасабов — автор 112 научных работ, под его руководством защищено 5 диссертаций. За время 29-летней работы в Ростовском медицинском институте Л. М. Хасабов внес большой вклад в изучение и лечение лепры, кожных и венерических болезней, подготовку специалистов-врачей. Опытный педагог, он охотно делился своим богатым опытом с молодежью. Его интересные и содержательные лекции пользовались большой популярностью и у студентов и у молодых врачей.
Много внимания уделял Леон Михайлович помощи практическому здравоохранению Он всегда был в центре общественно-политической жизни: председатель Ростовского областного научного общества дерматовенерологов. Член межведомственной комиссии по борьбе с венерическими заболеваниями при Ростовском облисполкоме, член правления Всероссийского и Всесоюзного научных обществ дерматовенерологов. Л. М. Хасабов награжден 10 орденами и медалями и значком "Отличнику здравоохранения".