После окончания в 1959 г. II Московского медицинского института был оставлен при кафедре кожных и венерических болезней в клинической ординатуре, которую окончил в 1956 г. Вся дальнейшая трудовая, научная и общественная деятельность Юрия Михайловича связана с кафедрой кожных и венерических болезней Калининского медицинского института, на которой он работал сначала ассистентом, а с 1963 г. заведующим кафедрой.
В 1963 г. Ю. М. Игошин защитил кандидатскую диссертацию на тему "Клинико-эпидемиологическая характеристика трихомикозов в Калининской области и их лечению эпшганом", а в 1980 г. — докторскую — "Ранние нарушения липидного обмена и энергетических процессов при псориазе и новые методы его лечения". На основании полученных данных о роли нарушений липидного обмена в патогенезе псориаза Ю. М. Игошин разработал и внедрил в практику здравоохранения комплексный метод терапии этого дерматоза с применением ингаляций интерферона. Этот метод дал возможность существенно увеличить срок ремиссии заболевания больных и улучшить дальнейшее течение псориаза. Ю. М. Игошин — автор более 80 научных работ.
В течение многих лет являлся председателем правления Калининского филиала Всесоюзного общества дерматовенерологов, членом правления Всесоюзного общества дерматовенерологов, председателем ревизионной комиссий Всероссийского общества дерматовенерологов. Ю. М. Игошин награжден медалями "За доблестный труд в ознаменование 100-летия со дня рождения В. И. Ленина" и значком "Отличнику здравоохранения". Ю. М. Игошин — ветеран Великой Отечественной войны, награжден орденом Красной звезды и 5 медалями.