Н. Н. Яснитский родился 14 мая 1890 г. в Симбирске (ныне Ульяновск), в 1903 году окончил Симбирскую гимназию, затем поступил на медицинский факультет Казанского университета, который окончил в 1914 г.
До 1921 года находился на военной службе. После окончания ординатуры в кожно-венерологической клинике Казанского университета Н. Н. Яснитский работал в той же клинике ассистентом и старшим ассистентом.
В 1924 году он защитил докторскую диссертацию на тему "К учению о поздней или третичной розеоле Фурнье", в 1925 году получил звание приват-доцента.
С 1931 по 1941 г. Н. Н. Яснитский заведовал кафедрой кожных и венерических болезней Смоленского, с 1941 по 1944 г. — Новосибирского и с 1944 по 1959 г. — Казанского медицинских институтов. После ухода на пенсию до последнего времени работал консультантом Республиканской больницы № 2 в Казани.
В своей научной деятельности Н. Н. Яснитский большое внимание уделял изучению роли нервной системы и реактивности организма при различных дерматозах. Результаты его исследований по этим вопросам отражены в работах "К вопросу о ваго и симпатикотонии при кожных болезнях", "Роль вегетативной нервной системы в патогенезе кожных болезней", "К изучению о сосудодвигательных рафлексах кожи", "Роль изменений высшей нервной деятельности в патогенезе кожных болезней" и др.
Много работ выполнено им и его сотрудниками по вопросам пиодермии и экземы. Значительная часть этих работ отражена в "Сборнике трудов клиники кожных и венерических болезней КГМИ (1948 г.). В работе "Клиника и патогенез пиоаллергидов", автор рассматривает пиоаллергические высыпания как проявление изменения реактивности кожи не только по отношению к пиококкам или их токсинам, но и по отношению к различным внешним раздражителям. Работа "Этиопатогенез себорейной экземы" содержит новые данные о причине болезни и терминологии. Себорейная экзема рассматривается как разновидность стрептодермии и для ее обозначения предлагается термин "сквамозная стрептодермия". В статье, посвященной паратравматическим поражениям кожи и так называемой "микробной экземе", последняя включается в группу стрептодермии и для ее обозначения предлагается термин "эксфолиативная стрептодермия".
Н. Н. Яснитский написал более 70 научных работ, под его руководством выполнено 6 кандидатских и 1 докторская диссертация. Он известен как умелый и энергичный организатор учебного процесса. Об этом свидетельствует его успешная работа деканом Смоленского медицинского института, заместителем директора по учебно-научной работе Новосибирского и заместителем директора по учебной работе Казанского медицинских институтов. В течение многих лет он был председателем научных обществ дерматовенерологов Смоленска, Новосибирска и Казани, а также членом редакционного Совета журнала "Вестник дерматологии и венерологии".