М. А. Карагезян родился 3 октября 1917 г. в Краснодаре. В 1940 г. он окончил Кубанский медицинский институт и 2,5 года прослужил на фронте в качестве командира операционно-перевязочного взвода медико-санитарного батальона, был тяжело контужен, награжден 3 орденами (Красной Звезды, Отечественной войны II степени, "Знак Почета") и 8 медалями. С 1947 по 1950 г. он учился в клинической ординатуре при кафедре кожных болезней Кубанского медицинского института, после чего 2 года заведовал стационарным отделением Краснодарского городского кожно-венерологического диспансера.
В 1953 г. М. А. Карагезян защитил кандидатскую диссертацию "Стимулирующая роль внутригрудных трансфузий крови в терапии сифилиса", в 1970 г. — докторскую "Профессиональные аллергические дерматиты и экзема (вопросы патогенеза, лечения и профилактики)".
С 1952 по 1962 г. М. А. Карагезян — ассистент, с 1962 г. — доцент, а с 1963 по 1990 г. — заведующий кафедрой кожных и венерических болезней Кубанского медицинского института, с 1991 г. — профессор той же кафедры.
Под его руководством выполнено и защищено 3 докторских и 14 кандидатских диссертаций, разработано и внедрено 27 новых методов диагностики и лечения. Он опубликовал около 200 научных работ, в том числе 2 монографии и 5 брошюр, имеет 9 рационализаторских предложений и 4 изобретения.
Проф. М. А. Карагезян успешно совмещал работу на кафедре с большой общественной работой. Многие годы он являлся председателем Краевого научного общества дерматовенерологов, главным специалистом края, членом правления Всероссийского научного общества дерматовенерологов.