Окончив в 1931 г. Харьковский медицинский институт, Е. В. Щелковская работала на сельском врачебном участке, а затем поступила в аспирантуру Центрального психоневрологического института, по окончании которого защитила диссертацию на степень кандидата медицинских наук и стала ассистентом неврологической клиники. Во время Великой Отечественной войны Евгения Вячеславовна работала в различных госпиталях. С 1945 г. она являлась старшим научным сотрудником отдела сифилидологии, а с 1953 г. до конца своей жизни — заместителем директора по научной части Украинского кожно-венерологического института.
Е. В. Щелковская была известным нейросифилидологом и автором 90 научных работ. Ее научные исследования были направлены на изучение роли нервной системы в патогенезе и терапии тяжелых заболеваний, а также раннего и позднего нейросифилиса. Особенно плодотворно она изучала нервные симптомы пузырчатки, красной волчанки, занималась разработкой комплексной терапии атрофии зрительных нервов.