После окончания в 1949 г. Военно-Морской медицинской академии служил врачом в военно-морских частях, а с 1954 г. — начальником кожно-венерологического отделения Военно-Морского госпиталя. В 1959 г. окончил клиническую адъюнктуру при кафедре кожных и венерических болезней Военно-медицинской академии им. С. М. Кирова, защитил кандидатскую диссертацию, после чего до 1964 г. проходил службу в качестве дерматовенеролога на Северном флоте.
В 1965 г. Л. В. Шевляков избран заведующим курсом кожных и венерических болезней медицинского факультета Петрозаводского университета. В 1975 г. он защитил докторскую диссертацию "Дерматозы у рабочих деревообрабатывающей и лесной промышленности Карельской АССР", в которой установил этиологию профессиональных дерматозов, механизм развития сенсибилизации, уточнил клиническую картину, лечение, разработал и внедрил профилактические мероприятия на предприятиях деревообрабатывающей промышленности республики.
С 1978 г. Леонид Васильевич Шевляков заведовал кафедрой кожных и венерических болезней Гродненского медицинского института. Он автор более 70 научных работ. Свою научно-педагогическую работу профессор Шевляков сочетал с активной общественной деятельностью. В течение многих лет был председателем правления Карельского филиала Всероссийского общества дерматовенерологов, является председателем правления Гродненского филиала белорусского общества дерматовенерологов, членом правления белорусского общества дерматовенерологов. Леонид Васильевич — участник Великой Отечественной войны, награжден орденом Красной звезды и медалями.