А. А. Штейн родился в Петербурге в семье профессора-дерматолога А. К. Штейна. В 1925 г. окончил I Ленинградский медицинский институт и был оставлен ординатором клиники кожных болезней I Ленинградского медицинского института. С 1926 по 1936 г. Александр Александрович одновременно работал по совместительству научным сотрудником в патологоанатомическом отделе ВИЭМ, а с 1931 по 1938 г. А. А. Штейн — заведующий отделением Ленинградского люпозория. В 1938 г. А. А. Штейн был избран заведующим кафедрой кожных и венерических болезней Курского медицинского института. В 1941 —1945 гг. Александр Александрович работал научным руководителем Кара-Калпакского лепрозория в городе Турткуль, а в 1945 г. вновь возглавил кафедру кожных и венерических болезней Курского медицинского института.
С 1948 по 1951 г. А. А. Штейн заведовал кафедрой кожных и венерических болезней Рижского, а с 1951 по 1970 г. — Львовского медицинского института. С 1970 по 1971 г. он состоял научным руководителем этой кафедры.
В 1935 г. Александр Александрович был утвержден по совокупности научных работ в ученой степени кандидата медицинских наук без защиты диссертации, а в 1939 г. после защиты диссертации — в ученой степени доктора медицинских наук и в звании профессора.
На протяжении своей врачебной деятельности профессор А. А. Штейн много сил и энергии отдал делу борьбы с проказой, туберкулезом, венерическими болезнями. Свыше 40 лет профессор А. А. Штейн отдал научной и практической работе в различных лепрозориях нашей страны.
Он состоял членом правления Украинского республиканского научного дерматологического общества, был председателем Львовского филиала этого общества, членом Ленинградского филиала научно-дерматовенерологического общества, Ленинградского филиала общества патологов. С 1935 по 1947 г. А. А. Штейн состоял членом Международной лепрозной ассоциации, был соредактором "Международного лепрозного журнала", входил в состав редакционного Совета журнала "Вестник дерматологии и венерологии".
Его перу принадлежит около 300 печатных работ, из них 33 были выпущены за рубежом. Его монография "Дифференциальная диагностика заболеваний кожи", изданная в 1960 г., получила высокую оценку не только в нашей стране, но и за границей.
За время работы во Львове Александром Александровичем подготовлено 6 докторов и 15 кандидатов медицинских наук из числа сотрудников института.