Представитель в Совете Федерации Федерального Собрания РФ от администрации Чеченской Республики с октября 2000 г., член Комитета по экономической политике, предпринимательству и собственности; родился 20 декабря 1947 г. станице Нуринск Тельмановского района Карагандинской области Казахской ССР; окончил Серноводский сельсхозяйственный техникум по специальности "техник-механик" в 1973 г., Горский сельскохозяйственный институт по специальности "ученый агроном" (г. Грозный) в 1979 г.; 1965—1971 — тракторист, бригадир тракторно-полеводческой бригады, механик, 1971—1974 — председатель рабочего комитета, 1974—1980 — главный инженер, с 1980 г. — директор винодельческого совхоза "Озерный" Производственно-совхозного объединения "Грозвино" Чечено-Ингушской АССР; 1995—1996 — заместитель генерального директора Центра таможенного обслуживания Ассоциации внешнеэкономического сотрудничества Республики Башкортостан; 1996—1997 — помощник члена Совета Федерации Федерального Собрания РФ; 1997—1999 — генеральный директор ЗАО "Атомагросервис"; 1999—2000 — помощник генерального директора АО "Гусиноозерская ГРЭС" РАО "ЕЭС России".
Согласно публикации "Весь Совет Федерации" в еженедельнике "Коммерсант-Власть" (26.02.2002), А. Завгаев в 1995—1996 годах был министром торговли Чечни в правительстве своего брата Доку Завгаева. Проходил по уголовному делу о крупных финансовых хищениях, связанных с московской фирмой "Красный суконщик".