• Mathemat?ca,
??? ?????????? или ????????, означает в известном смысле все вообще научные познания, в специальном же смысле такие, в которых форма науки впервые высказалась с наивозможною точностью, а именно математику. Первоначальное свое развитие и М. получила у греков, благодаря ионическим философам, а еще более благодаря пифагорейцам. Различного рода опыты, задачи и методы были заимствованы, конечно, с Востока, особенно от египтян, но научною обработкою М. обязана грекам. В арифметике особенно прославились Пифагор и после него Архит и Филолай; Пифагор же обогатил геометрию названною по его имени важною теоремою; ею же занимались Анаксагор и Гиппократ Хиосский (450 г. до Р. X.), особенно последний, который нашел будто бы квадратуру круга (lunula) и старался решить пресловутую и занимавшую затем многих ученых древнего мира «Делосскую проблему» — найти способ к удвоению куба. Уже Архит рассматривал в своих лекциях стереометрические отношения, именно первую кривую двоякой кривизны, а Платон ввел в геометрию аналитический метод, равно как и учение о конических сечениях и геометрических точках; этим он настолько расширил математическую науку, что его ученики говорили о трансцендентной геометрии в противоположность к низшей геометрии. Вместе с Платоном и Архитом одновременно почти процветали Евдокс Книдский, Аристей, Менэхм (?????????) и его брат Дейнострат (????????????), которые развили еще более учение о конических сечениях, а так называемая quadratix Дейнострата, открытая жившим в то же время Гиппием ( ??????), стремится к решению задачи — разделить угол на три равные части и решить квадратуру круга. Эти подготовительные работы получают у Аристотеля дальнейшее развитие по отношению к объему и содержанию и разнообразному их применению к механике; наконец, благодаря трудам александрийских ученых, М. достигла той научной полноты, которой можно было достигнуть в древности. В частности, систематическая и методическая разработка арифметики удалась Евклиду; эту же часть М. обогатили своими исследованиями Архимед и Эратосфен. Особенно же прославился вышеупомянутый Евклид в геометрии, где знаменитые «Основы» (?????????) доставили ему название «отца геометрии». Кроме него, Архимед, Аполлоний из Перги и живший позднее Диофант были главными математиками древних. Архимед решил квадратуру параболы, нашел отношение между окружностью и диаметром круга, между объемом шара и описанного около него цилиндра, определил содержания сфероид и вообще значительно расширил геометрический анализ. Аполлоний исследовал свойства сечений косого конуса и довел теорию конических сечений до высокой степени совершенства. Труды этих двух математиков обозначают самую блестящую эпоху геометрии у древних. Геометрическим способом решили «Делосскую проблему» Менэхм и Аполлоний, и именно посредством конических сечений, позднее Никомед (может быть, ок. 150 г. до Р. X.) посредством изобретенной им конхоиды (раковинообразной кривой линии), Диокл (вероятно, в 6 в. от Р. X.) посредством киссоиды (плющеобразной кривой). Гиппарх, величайший астроном в древности, был основателем необходимой ему для его астрономических исчислений плоской и сферической тригонометрии, дальнейшему развитию которой содействовали Гемин, Феодосий (может быть, ок. 50 г. до Р. X.) и астроном Менелай (может быть, ок. 100 г. от Р. X.). Единственное изложение плоской и сферической тригонометрии у древних находим мы в сочинении ??????????? ????????, принадлежащем великому астроному Клавдию Птолемею (ок. 150 г. от Р. X.). Из математиков позднейшего времени в древности следует упомянуть еще двух, Диофонта (между 160 и 360 гг. от Р. X.), который занимался преимущественно так называемым неопределенным анализом, и Паппа, жившего в конце 4 в., который в своем «математическом сборнике» (???????????? ?????????), собрал важнейшие открытия прежних математиков. Механикой долгое время занимались только практически, пока Архимед после различных напрасных опытов других ученых не установил для нее твердых теоретических оснований; посредством законов простых машин (рычага, блока и т. д.) и центра тяжести он положил начало механике твердых тел, а изложением своей гидростатической теории основал механику жидкостей. Из других ученых следует в особенности упомянуть Герона Александрийского (ок. 250 г. до Р. X.), который, между прочим, изобрел названные по его имени приборы: Геронов фонтан, Геронов шар, эолипилу. Не только в Александрии, но и на острове Родосе, в Пергаме и особенно в Сиракузах процветала механика в практическом применении. Меньше знаем мы об успехах в оптике, т. к. сочинения, касающиеся ее, частью сомнительны, частью утрачены. Акустика была сперва указана Пифагором, позднее ею занимался Аристотель. У римлян М. не развивалась: эмпирический навык при разделении земель и при означении места для лагеря казался для них достаточным. Некоторые сведения по этой отрасли мы имеем в сочинении Гигина; кроме того, Варрон, Витрувий и Юлий Фронтин также известны как писатели по этой части.
Математика
Математика
МАТЕМАТИКА,
•Mathematĭca,
τὰ μαθηματικά или μαθήματα, означает в известном смысле все вообще научные познания, в специальном же смысле такие, в которых форма науки впервые высказалась с наивозможною точностью, а именно математику. Первоначальное свое развитие и М. получила у греков, благодаря ионическим философам, а еще более благодаря пифагорейцам. Различного рода опыты, задачи и методы были заимствованы, конечно, с Востока, особенно от египтян, но научною обработкою М. обязана грекам. В арифметике особенно прославились Пифагор и после него Архит и Филолай; Пифагор же обогатил геометрию названною по его имени важною теоремою; ею же занимались Анаксагор и Гиппократ Хиосский (450 г. до Р. X.), особенно последний, который нашел будто бы квадратуру круга (lunula) и старался решить пресловутую и занимавшую затем многих ученых древнего мира "Делосскую проблему" - найти способ к удвоению куба. Уже Архит рассматривал в своих лекциях стереометрические отношения, именно первую кривую двоякой кривизны, а Платон ввел в геометрию аналитический метод, равно как и учение о конических сечениях и геометрических точках; этим он настолько расширил математическую науку, что его ученики говорили о трансцендентной геометрии в противоположность к низшей геометрии. Вместе с Платоном и Архитом одновременно почти процветали Евдокс Книдский, Аристей, Менэхм (Μέναιχμος) и его брат Дейнострат (Δεινόστρατος), которые развили еще более учение о конических сечениях, а так называемая quadratix Дейнострата, открытая жившим в то же время Гиппием ( Ίππίας), стремится к решению задачи - разделить угол на три равные части и решить квадратуру круга. Эти подготовительные работы получают у Аристотеля дальнейшее развитие по отношению к объему и содержанию и разнообразному их применению к механике; наконец, благодаря трудам александрийских ученых, М. достигла той научной полноты, которой можно было достигнуть в древности. В частности, систематическая и методическая разработка арифметики удалась Евклиду; эту же часть М. обогатили своими исследованиями Архимед и Эратосфен. Особенно же прославился вышеупомянутый Евклид в геометрии, где знаменитые "Основы" (στοιχει̃α) доставили ему название "отца геометрии". Кроме него, Архимед, Аполлоний из Перги и живший позднее Диофант были главными математиками древних. Архимед решил квадратуру параболы, нашел отношение между окружностью и диаметром круга, между объемом шара и описанного около него цилиндра, определил содержания сфероид и вообще значительно расширил геометрический анализ. Аполлоний исследовал свойства сечений косого конуса и довел теорию конических сечений до высокой степени совершенства. Труды этих двух математиков обозначают самую блестящую эпоху геометрии у древних. Геометрическим способом решили "Делосскую проблему" Менэхм и Аполлоний, и именно посредством конических сечений, позднее Никомед (может быть, ок. 150 г. до Р. X.) посредством изобретенной им конхоиды (раковинообразной кривой линии), Диокл (вероятно, в 6 в. от Р. X.) посредством киссоиды (плющеобразной кривой). Гиппарх, величайший астроном в древности, был основателем необходимой ему для его астрономических исчислений плоской и сферической тригонометрии, дальнейшему развитию которой содействовали Гемин, Феодосий (может быть, ок. 50 г. до Р. X.) и астроном Менелай (может быть, ок. 100 г. от Р. X.). Единственное изложение плоской и сферической тригонометрии у древних находим мы в сочинении μαθηματικὴ σύνταξις, принадлежащем великому астроному Клавдию Птолемею (ок. 150 г. от Р. X.). Из математиков позднейшего времени в древности следует упомянуть еще двух, Диофонта (между 160 и 360 гг. от Р. X.), который занимался преимущественно так называемым неопределенным анализом, и Паппа, жившего в конце 4 в., который в своем "математическом сборнике" (μαθηματικαὶ συναγωγαί), собрал важнейшие открытия прежних математиков. Механикой долгое время занимались только практически, пока Архимед после различных напрасных опытов других ученых не установил для нее твердых теоретических оснований; посредством законов простых машин (рычага, блока и т. д.) и центра тяжести он положил начало механике твердых тел, а изложением своей гидростатической теории основал механику жидкостей. Из других ученых следует в особенности упомянуть Герона Александрийского (ок. 250 г. до Р. X.), который, между прочим, изобрел названные по его имени приборы: Геронов фонтан, Геронов шар, эолипилу. Не только в Александрии, но и на острове Родосе, в Пергаме и особенно в Сиракузах процветала механика в практическом применении. Меньше знаем мы об успехах в оптике, т. к. сочинения, касающиеся ее, частью сомнительны, частью утрачены. Акустика была сперва указана Пифагором, позднее ею занимался Аристотель. У римлян М. не развивалась: эмпирический навык при разделении земель и при означении места для лагеря казался для них достаточным. Некоторые сведения по этой отрасли мы имеем в сочинении Гигина; кроме того, Варрон, Витрувий и Юлий Фронтин также известны как писатели по этой части.
Математика
(от греч. mathema — значение, наука). В эпоху античности уровень развития М. был очень высок. Греки использовали накопл. в Вавилонии и Египте арифметич. и геометрич. знания, но достоверных данных, позволяющих точно определить их воздействие, а также влияние традиции крито-микенской культуры, нет. История М. в Др. Греции, включая эпоху эллинизма, делится на 4 периода.
1. Ионийский период (ок. 600 — 450 до н. э.). В результате самостоятельного развития, а также на основе определ. запаса математич. знаний, заимствованных у вавилонян и египтян, М. превратилась в особую научную дисциплину, основанную на дедуктивном методе. Об этом свидетельствовали сочинения некоторых последователей ионийской натурфилософии и пифагорейцев. Согласно античному преданию, именно Фалес положил начало этому процессу. Однако истинная заслуга в создании М. как науки принадлежит, видимо, Анаксагору и Гиппократу Хиосскому. Демокрит, наблюдая за игрой на музыкальных инструментах, установил, что высота тона звучащей струны изменяется в зависимости от ее длины. Исходя из этого, он определил, что интервалы музыкальной гаммы могут быть выражены отношениями простейших целых чисел. Основываясь на идее об атомистич. структуре пространства (предполагалось, что линии, поверхности и объемы состоят из мельчайших элементов), он вывел формулы для определения объема конуса и пирамиды. Наиболее крупным математиком среди пифагорейцев следует, постровидимому, считать Архита. Для математич. мысли этого периода было характерно наряду с накоплением элементарных сведений по геометрии наличие зачатков теории двойственности, элементов стереометрии, формирование общей теории делимости и учения о величинах и измерении.
2. Афинский период (ок. 450 — 300 до н. э.). Развиваются специфич. греч. математич. дисциплины, наиболее значительной из которых была геометрич. алгебра. Целью геометризации М., в сущности, был поиск решения чисто алгебраич. задач (линейные и квадратные уравнения) с помощью наглядных геометрич. образов. Он был обусловлен стремлением найти выход из затруднительного положения, в котором оказалась М. вследствие открытия иррациональных величин. Применение новых способов решения задачи о квадратуре круга («теорема о луночках») Гиппократа и в первую очередь доказательство несоизмеримости (соизмеримости) диагонали квадрата с его стороной, постровидимому открытое пифагорейцем Гиппасом Метапонтским (ок. 400 до н. э.), опровергли утверждение, что соотношения любых математич. величин могут быть выражены через отношения целых чисел, т. е. через рациональные величины (Arithmetiса universalis). Под влиянием сочинений Платона и его учеников Феодор Киренский и Теэтет занимались разработкой проблемы несоизмеримости отрезков, в то время как Евдокс Книдский сформулировал общую теорию отношений, которую можно было применять также и для иррациональных величин. Тем самым он внес вклад в преодоление кризиса греч. М. Однако свободному развитию математич. мысли в этот период, дальнейшему становлению ее методологии и накоплению конкретного материала препятствовал провозглашаемый Платоном и его последователями примат умозрительного, в том числе математич., знания над эмпирия.
3. Эллинистич. период (ок. 300 — 150 до н. э.). В эпоху эллинизма античная М. достигла высшей стадии развития. В течение мн. столетий осн. центром математич. исследований оставался александрийский Мусейон. В этот период появляется труд, в котором систематизируются и обобщаются достижения предшествующих поколений математиков. Ок. 325 до н. э. Евклид написал сочинение «Начала» (13 книг); будучи последователем Платона, он практически не рассматривал прикладные аспекты М. Им уделял особое внимание Герон Александрийский. Только создание учеными Зап. Европы в 17 в. новой М. переменных величин оказалось по значению выше того вклада, который Архимед внес в разработку математич. проблем. Он не только, по сути дела, приблизился к анализу бесконечно малых величин, но и выступил в поддержку материалистич. взглядов Демокрита. Аполлоний Пергский, основываясь на трактатах Менахма (ок. 350 до н. э.), Евклида и других, создал законч. теорию конических сечений. В области математич. исследований в этот период осн. внимание уделялось также изучению алгебраич. кривых, которыми занимались Диокл (ок. 180 до н. э.), Никомед (ок. 180 до н. э.), Персей (ок. 150 до н. э.), и разработке математич. методов в теоретич. астрономии (теория эпициклов, вычисление хорд), что нашло отражение в трудах Аполлония Пергского, Менелая Александрийского и Клавдия Птолемея. Наряду с широким использованием М. в прикладных целях (Архимед) и применением ее для разрешения проблем в области физики и механики вновь обнаружилась тенденция, в частности со стороны неопифагорейцев, приписывать числам особые, сверхъестеств. качества (Ямвлих).
4. Завершающий период (ок. 150 — 60 до н. э.). К самостоятельным достижениям рим. М. можно отнести лишь создание системы грубо приближ. вычислений и написание неск. трактатов по геодезии, в основу которых легли работы Герона Александрийского. Наиболее значительный вклад в развитие античной М. на ее заключительном этапе внес Диофант. Использовав, видимо, данные егип. и вавилон. математиков, он продолжил разработку методов алгебраич. исчислений. Деятельность неопифагорейцев и неоплатоников, а также математиков, работавших в александрийском Мусейоне, была обусловлена стремлением сохранить знания, накопл. выдающимися представителями греч. математич. мысли. Наряду с усилением религиозно-мистич. интереса к числам продолжалась также разработка подлинной теории чисел. Этим занимался, в частности, Никомах Герасский (ок. 100 до н. э.). Были также составлены превосходные комментарии ко мн. математич. сочинениям и написаны работы, в которых систематизировались итоги исследований в области М. (Папп Александрийский и неоплатоник Прокл). В целом в условиях острого кризиса рабовладельч. способа производства и перехода к феодальной общественно-экономической формации в М. наблюдался регресс. Зверское убийство автора ряда трудов по М. Ипатии в 415 символизировало конец александрийской математич. школы. В 529 по приказу визант. императора Юстиниана, ярого поборника христианской веры, афинская Академия как центр распространения «языческих и губительных учений» была закрыта. Теперь только Византия вплоть до 9 в. оставалась хранительницей традиций античной М. Благодаря сохранившимся визант. копиям сочинений греч. математиков и их позднейшим араб, переводам до нас дошла значительная часть математич. знаний, накопл. в период распада Римской империи. Бурное развитие науки в Зап. Европе в эпоху Возрождения привело к тому, что зап.-европ. ученые постепенно ознакомились с сочинениями греч. математиков (б. ч. сохранились в араб, и евр. переводах). В 15 — 16 вв. гуманисты проводили текстологич. исследования сохранившихся работ с целью восстановления первоначальных текстов. В 16 — 17 вв. труды крупнейших греч. математиков (Евклид, Папп, Птолемей, Аполлоний, Диофант) вышли на лат. и греч. яз. Они оказали огромное влияние на становление высшей М. нового времени.
1. Ионийский период (ок. 600 — 450 до н. э.). В результате самостоятельного развития, а также на основе определ. запаса математич. знаний, заимствованных у вавилонян и египтян, М. превратилась в особую научную дисциплину, основанную на дедуктивном методе. Об этом свидетельствовали сочинения некоторых последователей ионийской натурфилософии и пифагорейцев. Согласно античному преданию, именно Фалес положил начало этому процессу. Однако истинная заслуга в создании М. как науки принадлежит, видимо, Анаксагору и Гиппократу Хиосскому. Демокрит, наблюдая за игрой на музыкальных инструментах, установил, что высота тона звучащей струны изменяется в зависимости от ее длины. Исходя из этого, он определил, что интервалы музыкальной гаммы могут быть выражены отношениями простейших целых чисел. Основываясь на идее об атомистич. структуре пространства (предполагалось, что линии, поверхности и объемы состоят из мельчайших элементов), он вывел формулы для определения объема конуса и пирамиды. Наиболее крупным математиком среди пифагорейцев следует, постровидимому, считать Архита. Для математич. мысли этого периода было характерно наряду с накоплением элементарных сведений по геометрии наличие зачатков теории двойственности, элементов стереометрии, формирование общей теории делимости и учения о величинах и измерении.
2. Афинский период (ок. 450 — 300 до н. э.). Развиваются специфич. греч. математич. дисциплины, наиболее значительной из которых была геометрич. алгебра. Целью геометризации М., в сущности, был поиск решения чисто алгебраич. задач (линейные и квадратные уравнения) с помощью наглядных геометрич. образов. Он был обусловлен стремлением найти выход из затруднительного положения, в котором оказалась М. вследствие открытия иррациональных величин. Применение новых способов решения задачи о квадратуре круга («теорема о луночках») Гиппократа и в первую очередь доказательство несоизмеримости (соизмеримости) диагонали квадрата с его стороной, постровидимому открытое пифагорейцем Гиппасом Метапонтским (ок. 400 до н. э.), опровергли утверждение, что соотношения любых математич. величин могут быть выражены через отношения целых чисел, т. е. через рациональные величины (Arithmetiса universalis). Под влиянием сочинений Платона и его учеников Феодор Киренский и Теэтет занимались разработкой проблемы несоизмеримости отрезков, в то время как Евдокс Книдский сформулировал общую теорию отношений, которую можно было применять также и для иррациональных величин. Тем самым он внес вклад в преодоление кризиса греч. М. Однако свободному развитию математич. мысли в этот период, дальнейшему становлению ее методологии и накоплению конкретного материала препятствовал провозглашаемый Платоном и его последователями примат умозрительного, в том числе математич., знания над эмпирия.
3. Эллинистич. период (ок. 300 — 150 до н. э.). В эпоху эллинизма античная М. достигла высшей стадии развития. В течение мн. столетий осн. центром математич. исследований оставался александрийский Мусейон. В этот период появляется труд, в котором систематизируются и обобщаются достижения предшествующих поколений математиков. Ок. 325 до н. э. Евклид написал сочинение «Начала» (13 книг); будучи последователем Платона, он практически не рассматривал прикладные аспекты М. Им уделял особое внимание Герон Александрийский. Только создание учеными Зап. Европы в 17 в. новой М. переменных величин оказалось по значению выше того вклада, который Архимед внес в разработку математич. проблем. Он не только, по сути дела, приблизился к анализу бесконечно малых величин, но и выступил в поддержку материалистич. взглядов Демокрита. Аполлоний Пергский, основываясь на трактатах Менахма (ок. 350 до н. э.), Евклида и других, создал законч. теорию конических сечений. В области математич. исследований в этот период осн. внимание уделялось также изучению алгебраич. кривых, которыми занимались Диокл (ок. 180 до н. э.), Никомед (ок. 180 до н. э.), Персей (ок. 150 до н. э.), и разработке математич. методов в теоретич. астрономии (теория эпициклов, вычисление хорд), что нашло отражение в трудах Аполлония Пергского, Менелая Александрийского и Клавдия Птолемея. Наряду с широким использованием М. в прикладных целях (Архимед) и применением ее для разрешения проблем в области физики и механики вновь обнаружилась тенденция, в частности со стороны неопифагорейцев, приписывать числам особые, сверхъестеств. качества (Ямвлих).
4. Завершающий период (ок. 150 — 60 до н. э.). К самостоятельным достижениям рим. М. можно отнести лишь создание системы грубо приближ. вычислений и написание неск. трактатов по геодезии, в основу которых легли работы Герона Александрийского. Наиболее значительный вклад в развитие античной М. на ее заключительном этапе внес Диофант. Использовав, видимо, данные егип. и вавилон. математиков, он продолжил разработку методов алгебраич. исчислений. Деятельность неопифагорейцев и неоплатоников, а также математиков, работавших в александрийском Мусейоне, была обусловлена стремлением сохранить знания, накопл. выдающимися представителями греч. математич. мысли. Наряду с усилением религиозно-мистич. интереса к числам продолжалась также разработка подлинной теории чисел. Этим занимался, в частности, Никомах Герасский (ок. 100 до н. э.). Были также составлены превосходные комментарии ко мн. математич. сочинениям и написаны работы, в которых систематизировались итоги исследований в области М. (Папп Александрийский и неоплатоник Прокл). В целом в условиях острого кризиса рабовладельч. способа производства и перехода к феодальной общественно-экономической формации в М. наблюдался регресс. Зверское убийство автора ряда трудов по М. Ипатии в 415 символизировало конец александрийской математич. школы. В 529 по приказу визант. императора Юстиниана, ярого поборника христианской веры, афинская Академия как центр распространения «языческих и губительных учений» была закрыта. Теперь только Византия вплоть до 9 в. оставалась хранительницей традиций античной М. Благодаря сохранившимся визант. копиям сочинений греч. математиков и их позднейшим араб, переводам до нас дошла значительная часть математич. знаний, накопл. в период распада Римской империи. Бурное развитие науки в Зап. Европе в эпоху Возрождения привело к тому, что зап.-европ. ученые постепенно ознакомились с сочинениями греч. математиков (б. ч. сохранились в араб, и евр. переводах). В 15 — 16 вв. гуманисты проводили текстологич. исследования сохранившихся работ с целью восстановления первоначальных текстов. В 16 — 17 вв. труды крупнейших греч. математиков (Евклид, Папп, Птолемей, Аполлоний, Диофант) вышли на лат. и греч. яз. Они оказали огромное влияние на становление высшей М. нового времени.
Источник: Словарь античности. 1989
